难题6 函数值域及求法

函数的值域及其求法是近几年高考考试考查的重点内容之1、本节主要帮助考生灵活学会求值域的各种办法，并会用函数的值域解决实质应用问题.

难题磁场

设m是实数，记M={m|m1},f=log3.

证明：当mM时，f对所有实数都有意义;反之，若f对所有实数x都有意义，则mM.

当mM时，求函数f的最小值.

求证：对每一个mM,函数f的最小值都不小于1.

案例探究

[例1]设计一幅宣传画，需要画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为,画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，如何确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小?假如需要[ ]，那样为什么值时，能使宣传画所用纸张面积最小?

命题意图：本题主要考查打造函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学常识解决实质问题的能力，属★★★★★级题目.

常识依托：主要依据函数定义、奇偶性和最小值等入门知识.

错解剖析：证明S在区间[ ]上的单调性容易出错，第二不容易把应用问题转化为函数的最值问题来解决.

方法与办法：本题是应用问题，重点是打造数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决.

解：设画面高为x cm,宽为x cm,则x2=4840,设纸张面积为S cm2,则S==x2+x+160,将x= 代入上式得：S=5000+44 ,当8 = ,即= 1)时S获得最小值.此时高：x= =88 cm,宽：x= 88=55 cm.

假如[ ]可设 12 ,则由S的表达式得：

又,故8- 0,

S-S0,S在区间[ ]内单调递增.

从而对于[ ],当= 时，S获得最小值.

答：画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小.假如需要[ ],当= 时，所用纸张面积最小.

[例2]已知函数f= ,x[1,+ 当a= 时，求函数f的最小值.

若对任意x[1,+ ,f0恒成立，试求实数a的取值范围.

命题意图：本题主要考查函数的最小值与单调性问题，着重于学生的综合剖析能力与运算能力，属★★★★级题目.

常识依托：本题主要通过求f的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想.

错解剖析：考生不容易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.

方法与办法：解法一运用转化思想把f0转化为关于x的二次不等式;解法二运用分类讨论思想解得.

解：当a= 时，f=x+ +2

∵f在区间[1，+ 上为增函数，

f在区间[1，+ 上的最小值为f= .

解法1、在区间[1，+ 上，f= 0恒成立 x2+2x+a0恒成立.

设y=x2+2x+a,x[1,+ ∵y=x2+2x+a=2+a-1递增，

当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a0时，函数f0恒成立，故a-3.

解法2、f=x+ +2,x[1,+ 当a0时，函数f的值恒为正;

当a0时，函数f递增，故当x=1时，fmin=3+a,

当且仅当fmin=3+a0时，函数f0恒成立，故a-3.

锦囊妙计

本难题所涉及的问题及解决的办法主要有：

求函数的值域

此类问题主要借助求函数值域的常用办法：配办法、离别变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等.无论用什么办法求函数的值域，都需要考虑函数的概念域.

函数的综合性题目

此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些入门知识相结合的题目.

此类问题需要考生拥有较高的数学思维能力和综合剖析能力与较强的运算能力.在以后的命题趋势中综合性题型仍会成为热门和重点，并可以渐渐加大.

运用函数的值域解决实质问题

此类问题重点是把实质问题转化为函数问题，从而借助所学常识去解决.此类题需要考生具备较强的剖析能力和数学建模能力.

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